情報システム実験 K-13 組み込みオペレーティングシステム
No.4

ボールを斜めに動かす

前回の move_box で（四角いですが）ボールを動かすことができるようになりました． 上下左右や斜め45度に動かす方法は直感的にわかると思いますが， それ以外の角度に動かすのはどうすればよいでしょうか． ここでは，できるだけ簡単な方法を考えてみましょう．

たとえば，以下のような考え方はどうでしょうか．

• 最初の点を(x0, y0)とする．
• 何らかの方法でx方向の速度dxと y方向の速度dyを決め， nステップ後の座標を(x0 + n * dx, y0 + n * dy)と計算する．

ここで，dxとdyが整数ならば，かけ算の必要はなくて，次のステップを 単なる足し算で求めることができます． たとえば下図は， 点の (x1, y1) から (x2, y2) への移動を表しています．

(x1, y1)から「次のステップ」(x2, y2)を求めるには，以下の計算をすればよいことになります．

　x2 = x1 + dx
　y2 = y1 + dy

速度が変わっても気にしないなら，dyを1に固定して，dxを変えるだけで いろいろな角度を作り出すことができます． 速度をなるべく変えないためには，dx²+dy²が一定となるようにして， dxとdyの組み合わせを変えればよいことになります．

小数の扱い(固定小数点数)

dxやdyとして，整数よりも細かい値を扱う方法としては，もちろんfloatやdoubleのような 浮動小数点数を用いる方法もありますが，GBAのARMプロセッサには浮動小数点演算を行う ハードウェアがないため，非常に遅い処理になってしまいます．

整数演算と浮動小数点演算の中間的な方法として，固定小数点数を用いるやり方があります． たとえば，C言語のint型の値(GBAでは符号と整数部あわせて32bit)を，「24bitの符号・整数部と8bitの小数部」 とみなして扱うことを考えます． 実際にはint型で表現しますが，分かりやすいように固定小数点数型に別の名前をつけましょう．

  typedef  int  fix;    // fix型という名前をつける．

  fix  x, y;     // xとyはfix型の変数

x, y座標やdx, dyなどの変化量はこうして固定小数点数で表しておき，最終的にドットの番地を計算する際に小数部を丸めて 整数に変換するようにします．

すると，固定小数点数の扱いは以下のように考えればよいことになります．

• fixから小数部を切り捨てて普通のint型に変換するには，単に>>演算子で右に8bitシフトすれば良い．
• fixの小数部を四捨五入して普通のint型に変換するには，「0.5」にあたる2進数10000000(=10進数128=16進数80)を足してから右に8bitシフトすれば良い．

    int round_fix(fix f) {
       return (f + 0x80) >> 8;
    }
  

• 固定小数点数どうしの加減算は，そのまま整数の+, -演算子を使えば行える．
• 固定小数点数どうしの乗算は，片方をintに丸めてから*演算子を使う．

たとえば，struct boxの中の(x, y)座標はfix型にしておき，draw_boxの際にround_fixするようなやり方が考えられます．

ボールの跳ね返り

ボールがバーや壁にあたって跳ね返るのは， あたった向きによって， 進む方向を逆転するだけです．

別の方法(DDA)

上で説明した固定小数点数は，整数aを使って「a/2^kを表している」 とみなして計算を進める方法でした．たとえば 「(x₁, y₁)から(x₂, y₂) へ線を引きたい」ような時には固定小数点数を使うより効率がよい方法があります． ここでは，ほんのさわりだけを解説します．

要は，

　xn = x0 + n * dx
　yn = y0 + n * dy

いま，

　dx =  A / B

　xn = qxn + rxn / B

qx_n, rx_nが整数型変数qx, rxにそれぞれ 入っている時， x_nにA / Bを加えて次のステップの座標x_n+1を求めるには，次の プログラムを実行すればよいことになります．

1  rx += A;              /* 分子にAを加える */
2  while (rx >= B) {     /* 分子がB以上なら */
3    rx -= B;            /* 分子をB減らす */
4    qx++;               /* 整数部を1増やす */
5  }

上のプログラムで，もし A < B に限定すれば，whileでなくif文ですむことになりますし， ボールの座標でなく「画面上に直線を描画する」場合には， dy = 1 あるいは dx = 1に限定して，もっとプログラムを単純・高速にできます．

 1 /* (x0, y0)から(xk, yk)まで直線を描画する．*/
 2   x = x0;
 3   y = y0;
 4   A = xk - x0;
 5   B = yk - y0;
 6   /* ここでは |A| < B と仮定する．*/
 7   /* y座標は1ずつ増える．x座標はx + rx / Bと表現し，A/Bずつ増やす． */
 8   rx = (B >> 1);    /* x座標をx+1/2に初期化しておく */
 9   while (y <= yk) {
10     plot(x, y);     /* (x, y)に点を描画する */
11     y++;            /* y座標は1ずつ動かす */
12     rx += A;        /* x座標をA/Bだけ動かす */
13     if (rx >= B) {  /* 分子がBを超えた */
14       x++;          /* x座標の整数部を1増やす */
15       rx -= B;      /* x座標の整数未満の分子をB減らす */
16     }
17   }