解析学III

  [ GB10504 ]
Analysis III
対象:2学年 開設学期:春AB 曜日・時限:金1・2 単位数:2単位
担当教員:片岸一起

概要

本講義においては、情報科学と解析学との接点に留意しつつ、解析学における多重積分・常微分方程式・級数に関わる基本的性質を学習する

学習・教育目標

1.2重積分および3重積分の概念とその計算方法および応用例を理解する (第1〜3週)
2.代表的な線形微分方程式の解法を理解する(第4〜7週)
3.級数の収束判定法、関数列の一様収束性とその意味を理解する (第8〜10週)

時間割

講義内容/理解すべき項目
第1週多重積分の計算とその幾何学的な意味
(2重積分と3重積分の考え方を理解し、計算する。積分順序を変更して2重積分を計算することの幾何学的な意味合いを理解する。)
第2週極座標変換による多重積分の計算
(極座標の考え方を理解する。2変数、3変数の極座標変換を利用して2重積分、3重積分を求める方法を理解する。)
第3週多重積分の応用(体積、曲面積)
(2重積分、3重積分を応用して空間図形の体積や曲面の曲面積を求める方法を理解する。)
第4週常微分方程式とその一般解・特殊解・特異解、変数分離形常微分方程式および同次形常微分方程式の解法
(常微分方程式の解にはどういうものがあるのかを理解する。代表的な関数を解にもつ微分方程式を導出し、今後の微分方程式を解く際の解についての知見を得る。最も簡単な常微分方程式である変数分離形の常微分方程式の一般解を求める。簡単な変数変換によって解法可能な常微分方程式の一例として、同次形常微分方程式を解く。)
第5週線形常微分方程式、完全常微分方程式の解法
(1階の線形微分方程式の一般解を解析的に求める。その応用として、Bernoulliの微分方程式を解く。関数の全微分形式を利用して完全常微分方程式の一般解を求める。)
第6週斉次(同次)の定数係数2階線形常微分方程式の一般解の解法
(斉次(同次)の定数係数2階線形常微分方程式の一般解を解析的に求める方法を理解する。)
第7週非斉次(非同次)の定数係数2階線形常微分方程式の一般解の解法
(第6週の解法を応用して、非斉次(非同次)の定数係数2階線形常微分方程式の一般解を解析的に求める方法を理解する。)
第8週無限数列の和とその収束判定法
(無限級数の収束・発散について復習する。正項級数の各種収束判定法を理解する。各種収束判定法を利用して、級数の収束性を議論する。)
第9週絶対収束級数と条件収束級数
(絶対収束級数、条件収束級数とは何か、またそれぞれの無限級数の性質について理解する。それらの性質を利用して、無限級数の収束性を議論する。)
第10週べき級数の収束性と関数列の一様収束性
(べき級数の収束性について、収束半径の立場から議論する。べき級数の収束半径を解析的に求める。また、一様収束の意味を理解するとともに、関数列の一様収束性と項別微分可能性および項別積分可能性との関係を理解する。テーラー級数、マクローリン級数について理解する。)

教材

矢野健太郎・石原繁: 微分積分学(裳華房)

参考書籍

高木貞治: 解析概論(岩波書店)
寺澤寛一: 自然科学者のための数学概論(岩波書店)

予備知識・前提条件

一変数の微分・積分の知識があることが望ましい。

成績評価

期末試験(80%)、授業中に実施する演習問題(20%)により評価する。

教員メールアドレス

katagisi(AT)cc.tsukuba.ac.jp

オフィスアワー

木曜日の17:00-19:00(学術情報メディアセンター4階404号)

備考

7月中に希望者を対象に「情報と代数学・解析学との接点」と題して複数回「補講」を行う予定です。詳細は授業で説明します。